ANNÉE 2013-2014

L'effet papillon, cher aux médias, est le fait que certains systèmes (par exemple la météo) sont sensibles aux conditions initiales (une petite perturbation conduit rapidement à des trajectoires divergentes) et donc difficiles à prévoir. De manière étonnante, du point de vue mathématique, cette instabilité est plutôt un avantage : les systèmes les plus chaotiques (appelés uniformément hyperboliques) sont en un sens les mieux compris, et les plus prévisibles à long terme. J'expliquerai ce paradoxe apparent, en montrant comment des systèmes déterministes ont en fait beaucoup à voir avec les probabilités.

Les réseaux complexes sont omniprésents dans nos sociétés et interviennent dans de nombreux domaines: des mathématiques, à la physique, la biologie, jusqu'à la sociologie et l'urbanisme, les réseaux sont le support de nombreux processus dynamiques. Il s'agit alors de comprendre leur structure et comment elle impacte les propriétés dynamiques. J'illustrerai ceci dans le cas de l'épidémiologie théorique avec le problème du seuil épidémique dans les réseaux de contact et la propagation de pandémies. Ces problèmes illustrent bien l'aspect à la fois très mathématique de ces questions et leurs conséquences très […]

Les pavages par dominos du diamant aztèque ont été introduits au début des années 90 pour leur lien avec les matrices à signes alternants et les lambda-déterminants. Leur énumération est particulièrement élégante puisqu'il existe 2^{n(n+1)/2} pavages de taille n. Nous ferons une promenade combinatoire grâce à ces pavages: énumération, bijection, fonctions symétriques, génération aléatoire, formes limites... Cela nous emmènera vers des objets plus généraux: les pavages pentus, tout récemment définis par J. Bouttier, G. Chapuy et S. Corteel.

Les équations d'Euler et de Navier-Stokes sont les équations reines de la mécanique des fluides. Bien qu'elles constituent aujourd'hui des modèles incontestés, elles mènent parfois à des conclusions surprenantes, à l'image du célèbre paradoxe de d'Alembert. L'objet de l'exposé est de présenter de manière simple ces EDP, les paradoxes qui leur sont associés, et comment ces paradoxes débouchent sur des problèmes mathématiques difficiles et actuels.

Par son ouvrage De l'origine des espèces paru en 1859, Darwin révolutionne la biologie en proposant une théorie de l'évolution des espèces vivantes. Cette théorie repose sur la variabilité des caractères génétiques et le processus de sélection naturelle. Au 20ième siècle, de nombreux mathématiciens se sont penchés sur la modélisation de cette théorie et ils ont, pour ce faire, développé des idées et objets probabilistes importants. Je raconterai ce développement des idées et expliquerai un modèle récent pour l'évolution de bactéries et leur adaptation à des ressources. Ce modèle combinera […]

La mécanique statistique a pour but la compréhension du comportement macroscopique d'un système physique décrit par un modèle définissant les interactions au niveau microscopique. Domaine de recherche des physiciens à ses débuts, la mécanique statistique a pris une grande place dans la communauté probabiliste et a été le théâtre d'avancées spectaculaires ces quinze dernières années.De nombreux modèles appartiennent à la mécanique statistique : modèle d'Ising, percolation, modèle de dimères. Après une introduction générale, nous nous concentrerons sur le modèle de dimères qui représente la répartition de molécules diatomiques à la […]

La dualité de Stone montre que la catégorie des algèbres de Boole avec leurs homomorphismes est équivalente à l'opposée de celle des espaces compacts qui possèdent une base d'ouverts-fermés. Le fait que ce soit une équivalence entre une catégorie et l'opposée d'une autre signifie que les sous-objets d'un côté correspondent aux quotients de l'autre et que les produits d'un côté correspondent aux coproduits (ou sommes) de l'autre. Cela donne aux dualités leur puissance toute particulière.La dualité de Stone et ses variantes et ses extensions donnent le lien entre l'approche syntaxique […]

J’expliquerai la notion de groupe et discuterai plus en détail certains exemples qu’on rencontre très tôt dans un cursus mathématique. Je parlerai en particulier de groupes de type fini, de la géométrie qu’ils peuvent admettre et de questions plus analytiques qu’on peut se poser à leur sujet.

Laplace et Cauchy (entre autres) ont jeté les bases de l'étude mathématique des vagues et furent suivis par de nombreux mathématiciens de renom. Plusieurs concepts importants ont émergé dans le cadre de ces travaux (non localité, ondes solitaires, interactions dispersion/nonlinéarité, etc), donnant lieu à plusieurs polémiques. Nous revisiterons rapidement ces polémiques historiques à la lumière d'outils mathématiques actuels.Nous nous intéresserons ensuite aux avancées récentes sur ce sujet très actif depuis une quinzaine d'années. Nous en ferons un rapide tour d'horizon en essayant de montrer quels sont les principes mathématiques généraux […]

The Gaussian central limit theorem says that for a wide class of stochastic systems, the bell curve (Gaussian distribution) describes the statistics for random fluctuations of important observables. In this talk I will look beyond this class of systems to a collection of probabilistic models which include random growth models, polymers, particle systems, matrices and stochastic PDEs, as well as certain asymptotic problems in combinatorics and representation theory. I will explain in what ways these different examples all fall into a single new universality class with a much richer mathematical […]