Archives Séminaire « Des mathématiques »

La dualité de Stone montre que la catégorie des algèbres de Boole avec leurs homomorphismes est équivalente à l'opposée de celle des espaces compacts qui possèdent une base d'ouverts-fermés. Le fait que ce soit une équivalence entre une catégorie et l'opposée d'une autre signifie que les sous-objets d'un côté correspondent aux quotients de l'autre et que les produits d'un côté correspondent aux coproduits (ou sommes) de l'autre. Cela donne aux dualités leur puissance toute particulière.La dualité de Stone et ses variantes et ses extensions donnent le lien entre l'approche syntaxique […]

J’expliquerai la notion de groupe et discuterai plus en détail certains exemples qu’on rencontre très tôt dans un cursus mathématique. Je parlerai en particulier de groupes de type fini, de la géométrie qu’ils peuvent admettre et de questions plus analytiques qu’on peut se poser à leur sujet.

Laplace et Cauchy (entre autres) ont jeté les bases de l'étude mathématique des vagues et furent suivis par de nombreux mathématiciens de renom. Plusieurs concepts importants ont émergé dans le cadre de ces travaux (non localité, ondes solitaires, interactions dispersion/nonlinéarité, etc), donnant lieu à plusieurs polémiques. Nous revisiterons rapidement ces polémiques historiques à la lumière d'outils mathématiques actuels.Nous nous intéresserons ensuite aux avancées récentes sur ce sujet très actif depuis une quinzaine d'années. Nous en ferons un rapide tour d'horizon en essayant de montrer quels sont les principes mathématiques généraux […]

The Gaussian central limit theorem says that for a wide class of stochastic systems, the bell curve (Gaussian distribution) describes the statistics for random fluctuations of important observables. In this talk I will look beyond this class of systems to a collection of probabilistic models which include random growth models, polymers, particle systems, matrices and stochastic PDEs, as well as certain asymptotic problems in combinatorics and representation theory. I will explain in what ways these different examples all fall into a single new universality class with a much richer mathematical […]

La génétique des populations mathématique s'intéresse à l'évolution de la composition génétique d'une population dans une région du génome donnée. Si le gène considéré a plusieurs allèles (c'est-à-dire plusieurs versions, comme le gène qui code la couleur des yeux), en fonction de la manière dont les individus se reproduisent et se transmettent cette caractéristique de parent à enfant, on peut voir s'instaurer petit à petit un équilibre dans lequel plusieurs allèles sont présents, ou au contraire l'un d'entre eux parvient à envahir totalement la population. Dans cet exposé nous aborderons […]

Depuis des générations, au sein de nombreuses civilisations, les mathématiques se sont développées dans le but de quantifier, de mesurer, et d’expliquer le monde qui nous entoure. Notre société moderne ne serait tout simplement pas possible sans l’apport des mathématiques. Les mathématiques et le langage font probablement partie des attributs qui distinguent les êtres humains des autres espèces. Au cours de leur évolution, les mathématiques sont devenues parties prenantes de presque tous les aspects de notre vie quotidienne. Leurs utilisations sont innombrables et de plus en plus pointues. Ceci est […]

En octobre 1914, le jeune mathématicien René Gateaux est tué à la tête d'une section de mitrailleuses en Artois. Il avait 25 ans et n'avait laissé que quelques esquisses de ce qui devait devenir sa thèse. Il eut cependant la chance posthume d'avoir été pendant sa brève vie scientifique proche de mathématiciens importants de son temps tels Jacques Hadamard et surtout Vito Volterra. Pour honorer sa mémoire, ces derniers conseillèrent à Paul Lévy en 1919 de regarder de près ce que René Gateaux avait fait en analyse fonctionnelle. Ce fait […]

Il y a trente ans les ordinateurs faisaient irruption dans les mathématiques avec la célèbre preuve du théorème des quatre couleurs par Appel et Haken. Au départ limité au simple calcul, leur rôle s'élargit maintenant à des raisonnements dont la complexité dépasse les capacités de la plupart des humains, comme la preuve de la classification des groupes simples finis. Nous venons d'en formaliser la première étape importante, le théorème de Feit-Thompson, à l'aide d'un éventail de méthodes et techniques qui vont de la logique formelle au génie logiciel.

 Les codes linéaires correcteurs d'erreurs sont des outils mathématiques utilisés dans l'industrie numérique pour corriger les erreurs de transmission. À un code est naturellement associé un élément de Z, appelé polynôme des poids. À une forme quadratique entière est associée sa fonction thêta, fonction spéciale définie sur le demi-plan de Poincaré. Si la forme quadratique est unimodulaire et paire, sa fonction thêta est une forme modulaire.  Après avoir présenté les codes et leurs polynômes (il s'agit de mathématiques relativement récentes mais élémentaires), puis les formes quadratiques et leurs fonctions thêta (il […]

Il est bien connu que pour un opérateur auto-adjoint $P$, sur un Hilbert $H$, la résolvante, $(P-tau)^{-1}$ est bornée en norme sur $H$ par l'inverse de la distance du paramètre spectral $tau$ au spectre, $d( tau, sigma(P)) ^{-1} $. Cette estimation devient fausse dès que l'opérateur n'est plus auto-adjoint. L'objet de l'exposé sera de présenter quelques exemples naturels de tels opérateurs et de montrer comment des méthodes classiques d'analyse (estimations de propagation ou de Carleman en particulier) permettent de prouver des estimations de résolvantes pour de tels opérateurs. Enfin, on […]

On illustrera quelques principes et approches de combinatoire énumérative, en se concentrant sur les objets classiques que sont les cartes planaires. On les rencontre aussi bien en informatique (géométrie algorithmique) qu'en mathématiques (probabilités ; algèbre) et en physique théorique (gravitation quantique).On verra passer de belles formules d'énumération, des dévissages récursifs, des bijections, des séries formelles, et quelques cartes aléatoires.

L'intégrabilité est une propriété des systèmes physiques avec un nombre suffisant de symétries, qui implique l'existence de lois de conservation, et permet souvent des solutions exactes et élégantes, avec des relations profondes à l'algèbre et la géométrie. Les problèmes posés peuvent se reformuler en termes purement combinatoires ou probabilistes, car liés à l'énumération pondérée de configurations explicites.Nous proposons ici une promenade dans le monde de cette combinatoire intégrable, offrant un point de vue sur les multiples facettes de l'intégrabilité: énumération des triangulations Lorentziennes, des cartes planaires, des matrices à signe […]