Séminaire Des mathématiques

 Les codes linéaires correcteurs d'erreurs sont des outils mathématiques utilisés dans l'industrie numérique pour corriger les erreurs de transmission. À un code est naturellement associé un élément de Z, appelé polynôme des poids. À une forme quadratique entière est associée sa fonction thêta, fonction spéciale définie sur le demi-plan de Poincaré. Si la forme quadratique est unimodulaire et paire, sa fonction thêta est une forme modulaire.  Après avoir présenté les codes et leurs polynômes (il s'agit de mathématiques relativement récentes mais élémentaires), puis les formes quadratiques et leurs fonctions thêta (il […]

Il est bien connu que pour un opérateur auto-adjoint $P$, sur un Hilbert $H$, la résolvante, $(P-tau)^{-1}$ est bornée en norme sur $H$ par l'inverse de la distance du paramètre spectral $tau$ au spectre, $d( tau, sigma(P)) ^{-1} $. Cette estimation devient fausse dès que l'opérateur n'est plus auto-adjoint. L'objet de l'exposé sera de présenter quelques exemples naturels de tels opérateurs et de montrer comment des méthodes classiques d'analyse (estimations de propagation ou de Carleman en particulier) permettent de prouver des estimations de résolvantes pour de tels opérateurs. Enfin, on […]

On illustrera quelques principes et approches de combinatoire énumérative, en se concentrant sur les objets classiques que sont les cartes planaires. On les rencontre aussi bien en informatique (géométrie algorithmique) qu'en mathématiques (probabilités ; algèbre) et en physique théorique (gravitation quantique).On verra passer de belles formules d'énumération, des dévissages récursifs, des bijections, des séries formelles, et quelques cartes aléatoires.

L'intégrabilité est une propriété des systèmes physiques avec un nombre suffisant de symétries, qui implique l'existence de lois de conservation, et permet souvent des solutions exactes et élégantes, avec des relations profondes à l'algèbre et la géométrie. Les problèmes posés peuvent se reformuler en termes purement combinatoires ou probabilistes, car liés à l'énumération pondérée de configurations explicites.Nous proposons ici une promenade dans le monde de cette combinatoire intégrable, offrant un point de vue sur les multiples facettes de l'intégrabilité: énumération des triangulations Lorentziennes, des cartes planaires, des matrices à signe […]

Le théorème de Ramsey affirme que si on colorie toutes les parties de taille k d'un ensemble dénombrable en un nombre fini de couleurs il y aura toujours un ensemble infini dont toutes les parties de taille k ont la même couleur. Ce théorème a inspiré toute une série de résultats du même genre -- si on coupe un gros objet en un nombre fini de morceaux il y aura toujours une grosse partie où on trouve de la structure -- qui ont trouvé des applications dans plusieurs domaines des […]

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Les conjectures de Weil, énoncées à la fin des années 1940, constituèrent l'une des motivations principales pour le travail de Grothendieck en géométrie algébrique dans les années 1950 et 1960. Ces conjectures relient des objets mathématiques vivant dans des mondes a priori très lointains: d'un côté, les nombres de solutions d'équations polynomiales dans les corps finis, et de l'autre, les invariants topologiques associés à certains objets géométriques (courbes, surfaces, variétés topologiques). Cet exposé visera à introduire les concepts en jeu et à expliquer la formulation des conjectures de Weil.

Il existe de nombreuses constructions explicites de suites de nombres rationnels qui convergent plus ou moins vite vers l'une ou l'autre des constantes classiques en mathématiques, telles que pi, exp(1), les valeurs de la fonctions zêta de Riemann aux entiers, la constante d'Euler ou les valeurs de la fonction Gamma d'Euler. Il s'avère beaucoup plus difficile de construire des suites d'approximations diophantiennes, c'est-à-dire des suites de nombres rationnels qui permettent de démontrer l'irrationalité de ces nombres. Je présenterai quelques méthodes permettant de le faire pour certains d'entre eux.

En neuroscience, une des questions fondamentales est de comprendre dans quelle mesure les neurones se comportent de manière indépendante ou non. En effet, dans cette dépendance et dans la forme de cette dépendance se cache potentiellement selon certains biologistes une partie du code neural, c'est-à-dire la manière dont sont encodés les stimulus extérieurs, la reconnaissance, etc. Je présenterai sur plusieurs exemples concrets quelles sont les méthodes statistiques possibles de détection/estimation de la dépendance et dans quelle mesure nous sommes proches de la notion biologique de connectivité fonctionnelle. Les modèles sous-jacents […]

La gravité de Liouville 2d est une théorie continue des surfaces aléatoires introduite par le physicien Polyakov en 1981. Cette théorie peut être vue comme l'analogue bidimensionnel de l'intégrale de chemin (unidimensionnelle) de Feynman introduite dans le cadre de la mécanique quantique. Récemment cette théorie a connu un développement important dans le cadre de la théorie des probabilités et j'essaierai d'expliquer dans cet exposé les enjeux associés: lien conjecturel entre cette théorie et les grandes cartes planaires (gravité discrète), lien entre la théorie et l'uniformisation classique des surfaces de Riemann […]

 Cet exposé abordera la formalisation mathématique de la notion d'auto-organisation en biologie à travers un problème ancien : la propagation d'ondes de concentration de bactéries Escherichia coli en milieu liquide . Je présenterai différents niveaux de modélisation au moyen d'équations aux dérivées partielles, et les problèmes mathématiques associés. Je ferai l'esquisse de résultats mathématiques aux différentes échelles, qui font appel à des théories mathématiques récentes et variées.

 Étant donné un arbre plan dont les sommets sont coloriés en deux couleurs il existe un (presque) unique polynôme P tel que cet arbre soit l'antécédent par P du segment . Les coeffcients de ce polynôme sont des nombres algébriques, ce qui permet de définir une action du groupe de Galois de Qbar/Q sur les arbres. Nous parlerons de cette action, de ses orbites et de ses invariants.