I will present recent joint work with Charles Smart, in which we prove a Harnack inequality for fully nonlinear elliptic equations in dimension $d$ with possibly unbounded ellipticity-- provided the ellipticity belongs to $L^d$. This yields a stochastic homogenization result for such equations, with applications to random diffusions in (strictly elliptic) random environments.
Les variétés algébriques complexes deviennent des objets affines par morceaux après le passage à la limite tropicale (par exemple, les courbes tropicales dans le plan sont certains graphes rectilignes). La géométrie de ces objets limites s'appelle la géométrie tropicale. Le but de l'exposé est de présenter les notions de bases de la géométrie tropicale, ainsi que plusieurs applications de la géométrie tropicale en géométrie énumérative. Lecture conseillée : Géométrie tropicale(éd. : P. Harinck, A. Plagne et C. Sabbah),Journées mathématiques X-UPS 2008,Editions de l'Ecole Polytechnique, 2008.
Voici 3 phénomènes :1 - Parmi toutes les lignes polygonales convexes et croissantes de N^2 joignant l'origine au point de coordonnées (n,n), l'écrasante majorité se concentre près d'un arc de parabole.2 - Si l'on dispose des carrés unitaires les uns après les autres dans un coin de quart de plan, de manière aléatoire uniforme parmi tous les creux formés par les carrés déjà placés, on définit alors un diagramme de Young aléatoire dont la forme se rapproche de celle d'une parabole lorsque le nombre de carrés tend vers l'infini.3 - […]
Les systèmes vivants sont caractérisés par leur variabilité qui conduit à une constante évolution. Cela peut s'expliquer, dans une vision très simplifiée, par trois ingrédients: (i) L'environnement fournit des resources partagées par tous les individus, (ii) un 'trait physiologique' caractérise l'adaptation des individus au milieu c'est-à-dire la capacité à utiliser un certain niveau de ressource,(iii) des mutations permettent à de nouveaux types d'individus d'apparaitre, peut-être mieux adaptés, et qui vont ainsi se développer plus vite et changer l'environnement...etcPlusieurs théories mathématiques ont été proposées pour décrire la dynamique engendrée par l'interaction […]
Si on considère par exemple f(x)=1/4 +3x^2/4, il est facile de voir que six>1 alors f_n(x)=f(f(…(f(x)))) forme une suite monotone croissante vers $+infty$ à vitesse super-exponentielle. Ce qui est moins évident est le fait que cette croissance cache un phénomène périodique surprenant, mis en évidence (ou, plutôt, conjecturé) par T. Harris dans son travail fondamental sur les arbres de Galton-Watson . Ces oscillations sont très petites : on peut les observer assez aisément avec les ordinateurs dont nous disposons aujourd'hui mais une compréhension mathématique satisfaisante manque. Le même phénomène a […]
La Théorie des modèles est une branche de la Logique Mathématique qui est encore mal connue malgré ses nombreuses applications en algèbre, théorie des nombres et géométrie. Le but de cet exposé est, en évitant le formalisme général abstrait, de présenter une introduction à la théorie des modèles à travers des exemples d'applications à l'algèbre. On s'appuiera sur la notion d'ultraproduit qui donne, par exemple, un sens concret et précis à l'énoncé: le corps des nombres complexes est la limite des clôtures algébriques des corps finis à p éléments quand […]
We prove a blow-up criterion in terms of the upper bound ofthe density for the strong solution to the 3-D compressible Navier-Stokesequations. The initial vacuum is allowed. The main ingredient of theproof is a priori estimate for an important quantity under the assumptionthat the density is upper bounded, whose divergence can be viewed asthe effective viscous flux.
Some twenty years ago Berenger introduced theremarkable method of perfectly matchedlayers for truncating to a rectangle, the computation ofsolutions of Maxwell's equations in 1+2 and 1+3 dimensionalspace time. Only recently have some of the fundamentalquestions concerning this method been resolved.For example the stability of the original methodand its perfection. We discuss the analysis of thisand related methods that are constructed to performbetter in variable coefficient settings where the perfectionof Berenger no longer holds. Research donewith Laurence Haplern, Sabrina Petit, and LudovicMetivier.
