Les propriétés métriques des cartes (graphes plongés dans des surfaces)aléatoires ont été beaucoup étudiées ces dernières années. Dans cetexposé, je présenterai une approche combinatoire à ces questions,exploitant des bijections entre les cartes et certains arbres étiquetés.Grâce à un phénomène inattendu d'intégrabilité discrète, il estpossible de compter exactement les cartes ayant deux ou trois pointsmarqués à distances prescrites, et plus encore. Je parlerai ensuite desapplications probabilistes à l'étude de la carte brownienne (obtenuecomme limite d'échelle des cartes planaires aléatoires) et des cartesplanaires uniformes infinies (obtenues comme limites locales). Si letemps le […]

Resume : Pour chaque entier $k geq 2$, on considère une suite d'arbres aléatoires construite récursivement : on part de l'arbre à une arête et deux noeuds (la racine et une feuille), puis on choisit à chaque étape une arête uniformément au hasard dans l'arbre pré-existant et on plante au milieu de l'arête sélectionnée $k-1$ nouvelles arêtes. Lorsque $k=2$, il s'agit de l'algorithme de Rémy, qui génère ainsi une suite d'arbres binaires, dont le $n$-ième terme est uniformément distribué dans l'ensemble des arbres binaires enracinés à $n$ feuilles numérotées. Il […]

On s'intéressera à un modèle proie-prédateur sur des graphes, où les sommets peuvent être de trois types : occupés par une proie ou un prédateur, ou bien vacants. Les proies se reproduisent à taux fixe et se propagent uniquement vers des sommets vacants voisins, alors que les prédateurs se reproduisent à un autre taux fixe et se propagent uniquement vers des sommets voisins occupés par une proie. On se demande alors ce qu'il se passe si on commence avec une proie et un prédateur : comment le système évolue-t-il ? […]

Consider the complete graph on n vertices with independent andidentically distributed edge-weights having some absolutely continuousdistribution. The minimum spanning tree (MST) is simply the spanningsubtree of smallest weight. It is straightforward to construct theMST using one of several natural algorithms. Kruskal's algorithmbuilds the tree edge by edge starting from the globally lowest-weightedge and then adding other edges one by one in increasing order ofweight, as long as they do not create any cycles. At each step of thisprocess, the algorithm has generated a forest, which becomes connectedon the final step. […]

Dans cet exposé je présenterai une nouvelle preuve de l'identité de Ray-Knight généralisée basée sur un argument de martingale. Cette martingale apparaît en lien avec le processus de saut renforcé par sites (VRJP) qui est un processus avec mémoire étroitement relié à la marche renforcée par arêtes (en collaboration avec P. Tarrès).

Considérons une marche aléatoire simple dans Z^d indexée par un arbrealéatoire choisi uniformément au hasard dans l'ensemble des arbres planairesde n sommets, et soit R(n) le nombre de points visités par cette marche.On montre que, si d>4, R(n)/n converge vers une constante strictementpositive, alors que si d=4, (log n)*R(n)/n converge vers (Pi^2)/2. Enpetites dimensions d