On illustrera quelques principes et approches de combinatoire énumérative, en se concentrant sur les objets classiques que sont les cartes planaires. On les rencontre aussi bien en informatique (géométrie algorithmique) qu'en mathématiques (probabilités ; algèbre) et en physique théorique (gravitation quantique).On verra passer de belles formules d'énumération, des dévissages récursifs, des bijections, des séries formelles, et quelques cartes aléatoires.

L'intégrabilité est une propriété des systèmes physiques avec un nombre suffisant de symétries, qui implique l'existence de lois de conservation, et permet souvent des solutions exactes et élégantes, avec des relations profondes à l'algèbre et la géométrie. Les problèmes posés peuvent se reformuler en termes purement combinatoires ou probabilistes, car liés à l'énumération pondérée de configurations explicites.Nous proposons ici une promenade dans le monde de cette combinatoire intégrable, offrant un point de vue sur les multiples facettes de l'intégrabilité: énumération des triangulations Lorentziennes, des cartes planaires, des matrices à signe […]

Le théorème de Ramsey affirme que si on colorie toutes les parties de taille k d'un ensemble dénombrable en un nombre fini de couleurs il y aura toujours un ensemble infini dont toutes les parties de taille k ont la même couleur. Ce théorème a inspiré toute une série de résultats du même genre -- si on coupe un gros objet en un nombre fini de morceaux il y aura toujours une grosse partie où on trouve de la structure -- qui ont trouvé des applications dans plusieurs domaines des […]

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Les conjectures de Weil, énoncées à la fin des années 1940, constituèrent l'une des motivations principales pour le travail de Grothendieck en géométrie algébrique dans les années 1950 et 1960. Ces conjectures relient des objets mathématiques vivant dans des mondes a priori très lointains: d'un côté, les nombres de solutions d'équations polynomiales dans les corps finis, et de l'autre, les invariants topologiques associés à certains objets géométriques (courbes, surfaces, variétés topologiques). Cet exposé visera à introduire les concepts en jeu et à expliquer la formulation des conjectures de Weil.

Il existe de nombreuses constructions explicites de suites de nombres rationnels qui convergent plus ou moins vite vers l'une ou l'autre des constantes classiques en mathématiques, telles que pi, exp(1), les valeurs de la fonctions zêta de Riemann aux entiers, la constante d'Euler ou les valeurs de la fonction Gamma d'Euler. Il s'avère beaucoup plus difficile de construire des suites d'approximations diophantiennes, c'est-à-dire des suites de nombres rationnels qui permettent de démontrer l'irrationalité de ces nombres. Je présenterai quelques méthodes permettant de le faire pour certains d'entre eux.