Séminaire Des mathématiques

Je commencerai par rappeler un vieux problème, dit des boeufs et attribué à Archimède. Sa résolution, essentiellement équivalente à celle de l’équation de Pell-Fermat, conduit naturellement à la construction de certaines variétés (hyperboliques réelles) associées à des formes quadratiques. Après une brève introduction à la géométrie hyperbolique, j’expliquerai en quoi ces variétés ont une musique particulière en détaillant en particulier un problème ouvert important : la conjecture de Selberg.

Transport optimal, de l’économie à la physique à la géométrie

Soit K un corps. La correspondance de Langlands est une bijection entre deux types d’objets mathématiques : des représentations du groupe Gln(K) des matrices inversibles de dimension n à coefficients dans K et des représentations, dites galoisiennes, qui décrivent l’arithmétique du corps K. Dans cet exposé, nous présentons la version p-adique de cette correspondance, version qui n’existe que pour n=2 et K le corps des nombres p-adiques. De multiples stratégies sont développées pour traiter les autres cas. C’est l’objet du programme de Langlands p-adique.

La topologie quantique est une branche de la topologie en petite dimension née il y a 30 ans environs avec la découverte du polynôme de Jones, probablement l’invariant de noeuds dans l’espace le plus fameux aujourd’hui. Les techniques et les idées qui sont à la base de cette théorie se situent au milieu de plusieurs sujet : la physique (par la théorie des champs), l’algèbre (par la théorie des représentations des groupes quantiques), la géométrie (par l’étude des espaces des représentations des groupes de surfaces) et bien évidemment la topologie. […]

Dans cet exposé, on montrera comment des considérations deprobabilités et d'algèbre se confrontent dans l'étude des matricesaléatoires. On commencera par expliquer comment on détermine la loides valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice dont descoefficients sont des variables aléatoires gaussiennes indépendantes.On verra alors que les valeurs propres d'une telle matrice peuventêtre comprises comme des particules soumises à deux forcesantinomiques : un potentiel qui les confine au voisinage de l'origineet des interactions répulsives qui les poussent à s'écarter les unesdes autres. On fera alors tendre la dimension des matrices versl'infini et […]

La notion de code identifiant a été introduite par Karpovsky et al. en 1998 afin de modéliser les problèmes de détection et localisation de pannes dans les réseaux multi-processeurs. On peut imaginer un code identifiant comme un ensemble de capteurs placés sur un graphe permettant de détecter et localiser un intrus se cachant sur un sommet, l'idée étant de placer le moins de capteurs possibles pour réaliser cette tâche.Plus précisément, un code identifiant C dans un graphe non-orienté est un ensemble couvrant (dominating set) qui permet de plus l'identification des […]

Les théories de jauge forment le cadre dans lequel les physiciens théoriciens d'aujourd'hui parviennent à décrire et à prédire le comportement de la matière à l'échelle de l'infiniment petit. Ce que les physiciens observent dans le Large Hadron Collider (LHC, Grand collisionneur de hadrons) par exemple, permet entre autres de vérifier et d'affiner le Modèle Standard, qui est une théorie de jauge particulièrement sophistiquée.Les théories de jauge ne sont pas des théories récentes : les premières ont commencé à être élaborées presque en même temps que la mécanique quantique, dans […]

Le processus d'exclusion est l'un des modèles les plus simples de transport aléatoire de particules. De nombreux miracles algébriques apparaissent dans son étude probabiliste et révèlent une structure sous-jacente que je décrirai. Nous rencontrerons ainsi des algèbres quantiques, de la théorie des représentations et des relations de Yang-Baxter liées aux tresses. J'essaierai autant que possible de montrer comment ces propriétés abstraites permettent de calculer des quantités concrètes qui intéressent les physiciens.

Dans cet exposé on décrit le lien entre quelques jeux déterministes simples et les solutions de certaines Equations aux Dérivées Partielles, via la théorie du controle optimal. Ce lien permet à la fois de résoudre ces EDP et de comprendre les stratégies optimales pour les jeux correspondants.

Les variétés algébriques complexes deviennent des objets affines par morceaux après le passage à la limite tropicale (par exemple, les courbes tropicales dans le plan sont certains graphes rectilignes). La géométrie de ces objets limites s'appelle la géométrie tropicale. Le but de l'exposé est de présenter les notions de bases de la géométrie tropicale, ainsi que plusieurs applications de la géométrie tropicale en géométrie énumérative. Lecture conseillée : Géométrie tropicale(éd. : P. Harinck, A. Plagne et C. Sabbah),Journées mathématiques X-UPS 2008,Editions de l'Ecole Polytechnique, 2008.

Voici 3 phénomènes :1 - Parmi toutes les lignes polygonales convexes et croissantes de N^2 joignant l'origine au point de coordonnées (n,n), l'écrasante majorité se concentre près d'un arc de parabole.2 - Si l'on dispose des carrés unitaires les uns après les autres dans un coin de quart de plan, de manière aléatoire uniforme parmi tous les creux formés par les carrés déjà placés, on définit alors un diagramme de Young aléatoire dont la forme se rapproche de celle d'une parabole lorsque le nombre de carrés tend vers l'infini.3 - […]

Les systèmes vivants sont caractérisés par leur variabilité qui conduit à une constante évolution. Cela peut s'expliquer, dans une vision très simplifiée, par trois ingrédients: (i) L'environnement fournit des resources partagées par tous les individus, (ii) un 'trait physiologique' caractérise l'adaptation des individus au milieu c'est-à-dire la capacité à utiliser un certain niveau de ressource,(iii) des mutations permettent à de nouveaux types d'individus d'apparaitre, peut-être mieux adaptés, et qui vont ainsi se développer plus vite et changer l'environnement...etcPlusieurs théories mathématiques ont été proposées pour décrire la dynamique engendrée par l'interaction […]