A famous Theorem by Artin and Schreier characterizes the real closed fields as being those fields which have a finite non-trivial absolute Galois group. Instances of p-adic analogs of this Theorem are known (Neukirch, Pop, Koenigsmann, Efrat), but there is much more to this story. Namely I will give a 'minimalistic' p-adic analog, which as in the Artin-Schreier Theorem, invoves only finite groups. This aspect of the story relates to the birational p-adic section conjecture, etc.

In this talk, I will explain how to relate the two counting problems in the title by generalizing the McKay correspondence to number-theoretic base fields, that is, local fields and number fields. Over local fields, generalizing the McKay correspondence by Batyrev and Denef-Loeser, one can relate stringy invariants of quotient varieties to mass formulas of extensions of local fields. Over number fields, using the local result and a heuristic argument, one can (less tightly than in the local case) relate Manin's conjecture on rational points of Fano varieties to Malle's […]

Bien que les espaces de Berkovich apparaissent souvent dans un contexte ultramétrique, leur définition la plus générale s'applique en réalité en prenant pour base un anneau de Banach arbitraire, par exemple Z muni de la valeur absolue usuelle. Dans ce dernier cas, les espaces obtenus se présentent naturellement comme des fibrations contenant à la fois des fibres complexes et p-adiques, pour tout nombre premier p. Nous rappellerons les propriétés connues de ces espaces puis esquisserons la démonstration du fait que la cohomologie cohérente des disques de dimension arbitraire sur Z […]

La théorie du groupe libre est stable, donc elle admet une ?Roebonne?R notion d'indépendance (comme l'indépendance algébrique dans un corps algébriquement clos). Cette notion est appelée déviation et on peut calculer sa complexité au sens de l'ampleur. La déviation est la plus simple dans une espace vectoriel et la plus complexe dans un corps algébriquement clos. Dans la théorie du groupe libre la déviation est la plus complexe, mais il a été conjecturé qu'aucun corps infini n'est définissable dans un groupe libre. Nous allons exposer une preuve de cette conjecture. […]

En théorie de la transcendance, on cherche à cerner les relations algébriques entre des nombres. Un problème plus simple consiste à se poser la même question sur les fonctions qui s'évaluent en ces nombres en espérant des théorèmes de transfert. D'après des résultats de Nishioka et Philippon, c'est le cas des fonctions de Mahler, qui satisfont des équations fonctionnelles discrètes en un opérateur de type Frobenius. En effet, les relations algébriques entre les valeurs de ces fonctions en des points algébriques se relèvent en des relations entre les fonctions elles-mêmes. […]