En utilisant un billard dans un plan avec des obstacles polygonaux périodiques comme exemple, je vais essayer de raconter le contexte et le contenu de la récente avancée majeure dans la dynamique dans les espaces de modules.
In recent work Harpaz and Wittenberg established a general fibration theorem for the existence of rational points, conditional on a conjecture on locally split values of polynomials. In this talk we report on joint work with Tim Browning, which establishes a special case of their conjecture. We achieve this in proving strong approximation off a non-empty finite set of places for some varieties which are defined using norm forms.
Les conjectures de Manin et Peyre décrivent la répartition des points rationnels de hauteur bornée sur une variété de Fano en terme d'invariants géométriques de la variété. Suivant l'approche développée par La Bretèche, Browning et Peyre, on présentera au cours de cet exposé une preuve de la conjecture de Manin pour une surfaces de Châtelet définie comme modèle minimal propre et lisse d'une variété affine de la forme Y^2+Z^2=F(X,1) avec F polynôme à coefficients entiers de degré 4 sans racine multiple de la forme F=L_1L_2Q avec L_1 et L_2 deux […]
La théorie mathématique quantitative des limites de champ moyen pour les limites de systèmes à grand nombre de particules démarre dans les années 1970 avec, notamment, les travaux fondateurs de Dobrushin, Braun et Hepp sur la dérivation des équations de Vlasov. Nous en expliquerons les idées essentielles, mais aussi les limitations. Ces méthodes en particulier reposent sur le fait que la mesure empirique du système de particule vérifie l?RTMéquation aux dérivées partielles non-linéaire de champ moyen, i.e. l?RTMéquation effective obtenue à la limite, ce qui permet de réduire la question […]
La réponse à cette question est négative si l'on utilise les notions naïves de coefficient et de taille. L'exposé consistera à expliquer comment construire des notions plus complexes qui permettent de donner une réponse positive. Le polygone de Newton est le personnage le plus important de cette histoire.
La théorie du groupe libre est stable, donc elle admet une ?Roebonne?R notion d'indépendance (comme l'indépendance algébrique dans un corps algébriquement clos). Cette notion est appelée déviation et on peut calculer sa complexité au sens de l'ampleur. La déviation est la plus simple dans une espace vectoriel et la plus complexe dans un corps algébriquement clos. Dans la théorie du groupe libre la déviation est la plus complexe, mais il a été conjecturé qu'aucun corps infini n'est définissable dans un groupe libre. Nous allons exposer une preuve de cette conjecture. […]
En théorie de la transcendance, on cherche à cerner les relations algébriques entre des nombres. Un problème plus simple consiste à se poser la même question sur les fonctions qui s'évaluent en ces nombres en espérant des théorèmes de transfert. D'après des résultats de Nishioka et Philippon, c'est le cas des fonctions de Mahler, qui satisfont des équations fonctionnelles discrètes en un opérateur de type Frobenius. En effet, les relations algébriques entre les valeurs de ces fonctions en des points algébriques se relèvent en des relations entre les fonctions elles-mêmes. […]
Bien que les espaces de Berkovich apparaissent souvent dans un contexte ultramétrique, leur définition la plus générale s'applique en réalité en prenant pour base un anneau de Banach arbitraire, par exemple Z muni de la valeur absolue usuelle. Dans ce dernier cas, les espaces obtenus se présentent naturellement comme des fibrations contenant à la fois des fibres complexes et p-adiques, pour tout nombre premier p. Nous rappellerons les propriétés connues de ces espaces puis esquisserons la démonstration du fait que la cohomologie cohérente des disques de dimension arbitraire sur Z […]
Taking the irrationality problem for very general cubic n-folds as motivating example, we explore the possibility to use entropy-type invariants (dynamical degrees) and growth behaviour of Cremona multidegrees of birational self-maps for distinguishing birational automorphism groups of nearly rational varieties. We discuss some recent results (semi-continuity properties of dynamical degrees, computations of dynamical degrees for some compositions of reflections on cubic fourfolds, relation to algebraic subgroups of the birational automorphism groups) obtained jointly with H.-Chr. v. Bothmer and P. Sosna.
Manin's conjecture is a conjectural asymptotic formula for the counting function of rational points of bounded height on Fano varieties, however the conjecture admits many counterexamples due to covering families of subvarieties violating compatibility of Manin's conjecture. In this talk, I will explain how one can use the minimal model program and the boundedness of log Fano varieties to prove a sort of finiteness of such families. This is joint work with Brian Lehmann and Yuri Tschinkel.
On commencera par évoquer quelques théorèmes de points fixes. Malgré leur simplicité, ils s’avèrent très utiles dans des domaines modernes de la recherche mathématiques comme la théorie KAM faible. On expliquera leur utilité et quelques conséquences dans cette théorie.
La «sphère» de Poincaré est un espace à trois dimensions qui n'est pas une hypersphère (ou sphère de dimension 3) mais qui partage avec celle-ci beaucoup de propriétés «topologiques». C'est un objet fascinant. Certains physiciens pensent même qu'elle prêterait sa forme à l'univers :) J'essaierai de vous en dévoiler quelques mystères. Il y aura beaucoup d'images et de films de Jos Leys.
