Archives Séminaire « Des mathématiques »

Le processus d'exclusion est l'un des modèles les plus simples de transport aléatoire de particules. De nombreux miracles algébriques apparaissent dans son étude probabiliste et révèlent une structure sous-jacente que je décrirai. Nous rencontrerons ainsi des algèbres quantiques, de la théorie des représentations et des relations de Yang-Baxter liées aux tresses. J'essaierai autant que possible de montrer comment ces propriétés abstraites permettent de calculer des quantités concrètes qui intéressent les physiciens.

Dans cet exposé on décrit le lien entre quelques jeux déterministes simples et les solutions de certaines Equations aux Dérivées Partielles, via la théorie du controle optimal. Ce lien permet à la fois de résoudre ces EDP et de comprendre les stratégies optimales pour les jeux correspondants.

Les variétés algébriques complexes deviennent des objets affines par morceaux après le passage à la limite tropicale (par exemple, les courbes tropicales dans le plan sont certains graphes rectilignes). La géométrie de ces objets limites s'appelle la géométrie tropicale. Le but de l'exposé est de présenter les notions de bases de la géométrie tropicale, ainsi que plusieurs applications de la géométrie tropicale en géométrie énumérative. Lecture conseillée : Géométrie tropicale(éd. : P. Harinck, A. Plagne et C. Sabbah),Journées mathématiques X-UPS 2008,Editions de l'Ecole Polytechnique, 2008.

Voici 3 phénomènes :1 - Parmi toutes les lignes polygonales convexes et croissantes de N^2 joignant l'origine au point de coordonnées (n,n), l'écrasante majorité se concentre près d'un arc de parabole.2 - Si l'on dispose des carrés unitaires les uns après les autres dans un coin de quart de plan, de manière aléatoire uniforme parmi tous les creux formés par les carrés déjà placés, on définit alors un diagramme de Young aléatoire dont la forme se rapproche de celle d'une parabole lorsque le nombre de carrés tend vers l'infini.3 - […]

Les systèmes vivants sont caractérisés par leur variabilité qui conduit à une constante évolution. Cela peut s'expliquer, dans une vision très simplifiée, par trois ingrédients: (i) L'environnement fournit des resources partagées par tous les individus, (ii) un 'trait physiologique' caractérise l'adaptation des individus au milieu c'est-à-dire la capacité à utiliser un certain niveau de ressource,(iii) des mutations permettent à de nouveaux types d'individus d'apparaitre, peut-être mieux adaptés, et qui vont ainsi se développer plus vite et changer l'environnement...etcPlusieurs théories mathématiques ont été proposées pour décrire la dynamique engendrée par l'interaction […]

 Si on considère par exemple f(x)=1/4 +3x^2/4, il est facile de voir que six>1 alors f_n(x)=f(f(…(f(x)))) forme une suite monotone croissante vers $+infty$ à vitesse super-exponentielle. Ce qui est moins évident est le fait que cette croissance cache un phénomène périodique surprenant, mis en évidence (ou, plutôt, conjecturé) par T. Harris dans son travail fondamental sur les arbres de Galton-Watson . Ces oscillations sont très petites : on peut les observer assez aisément avec les ordinateurs dont nous disposons aujourd'hui mais une compréhension mathématique satisfaisante manque. Le même phénomène a […]

La Théorie des modèles est une branche de la Logique Mathématique qui est encore mal connue malgré ses nombreuses applications en algèbre, théorie des nombres et géométrie. Le but de cet exposé est, en évitant le formalisme général abstrait, de présenter une introduction à la théorie des modèles à travers des exemples d'applications à l'algèbre. On s'appuiera sur la notion d'ultraproduit qui donne, par exemple, un sens concret et précis à l'énoncé: le corps des nombres complexes est la limite des clôtures algébriques des corps finis à p éléments quand […]

L'équation de la chaleur decouverte par J. Fourier au début du XIX ième siècle est aujourd'hui un thème de recherche à la croisée de l'analyse des E D P , de la géométrie , des probabilités.On découvrira quelques propriétés fondamentales des solutions de ces équations : à savoir qu'une condition initiale positive plus petite que 1 engendre une solution positive et plus petite que 1. Ceci permet de donner une interprétation probabiliste des solutions de l'équation de la chaleur et d'imaginer l'étude de l'équation de la chaleur sur d'autres espaces […]

Une géométrie au sens de F. Klein est un espace muni d'une action transitive d'un groupe de dimension finie (groupe de Lie). La géométrie euclidienne, la géométrie sphérique, ou encore la géométrie affine sont des exemples célèbres.On présentera la géométrie hyperbolique et la géométrie projective complexe et on discutera leursrôles dans le théorème d'uniformisation des surfaces. Ce résultat fondamental, obtenu au début du vingtième siècle par Poincaré et Koebe, permetd'équipper chaque surface d'une géométrie qui est hyperbolique, euclidienne ou sphérique.Un excellent livre d'introduction au théorème d'uniformisation des surfaces estHenri Paul […]

Le débat sur les OGM suscite des passions... les enjeux politiques etcommerciaux sont réels... bref, un terrain propice pour que quelquespseudo-scientifiques peu scrupuleux s'emparent du sujet au mépris detoute rigueur et déontologie scientifique. Les idéologies, lesintérêts des uns et des autres ont totalement étouffé le débatscientifique autour des OGM. C'est pourtant la responsabilité ducitoyen d'accepter, quelque soit ses convictions, une expertisescientifique solide et irréprochable pour un débat éclairé, plutôt quese laisser abuser par une opération médiatique et commercialeplus que douteuse.La statistique joue un rôle incontournable dans l'évaluation desrisques sanitaires liés […]

Les classes d'homologie ou cohomologie des sous-variétés différentiables d'une variété différentiable compacte engendrent toute la cohomologie à coefficients rationnels. Il n'en va pas de même si on considère les sous-variétés complexes d'une variété complexe: on voit très vite que les classes de telles sous-variétés satisfont certaines contraintes que nous décrirons. Dans le contexte de la géométrie algébrique complexe, la conjecture de Hodge propose une caractérisation des classes de cohomologie rationnelles qu'on peut construire comme combinaisons de classes de sous-variétés complexes. L'exposé sera principalement consacré à la formulation de la conjecture […]

Résumé : Une carte planaire est un dessin (plongement propre) d'un graphe fini connexe dans le plan. Motivé par le célèbre théorème des quatre couleurs, W. T. Tutte a réussi dans les années 60 à énumérer les cartes planaires et ainsi fonder l'étude systématique de ces objets. Depuis, les cartes sont apparues dans d'autres domaines des mathématiques comme les intégrales matricielles, la géométrie algébrique, l'analyse complexe et la physique théorique.En particulier, en gravité quantique 2D, les physiciens considèrent les cartes planaires comme une discrétisation naturelle d'une surface de Riemann fluctuante. […]