Séminaire Des mathématiques

Dans la théorie des représentations automorphes (et probablement beaucoup d'autres branches des mathématiques), une fois que l'on a réussi à enlever tout le formalisme compliqué qui entoure un problème, on se retrouve souvent avec une identité combinatoire à prouver, et on se rend que l'identité combinatoire était plus compliquée que le formalisme. Je présenterai une telle identité venant de mon propre travail, et mes efforts pour la prouver de manière naturelle avec l'aide de collègues plus compétents. Aucune connaissance des représentations automorphes ne sera nécessaire pour comprendre cet exposé.

Une transformation birationnelle du plan est une "application" dont les coordonnées sont des fractions rationnelles et qui possèdent un inverse de la même forme. Par exemple (x,y)-->(1/x, 1/y) ou (x,y)--> (x,y+p(x)). Ce groupe est très large, mais il possède quand même un ensemble des générateurs assez agréable. Par contre, pour le groupe analogue en dimension trois et plus on ne connait pas d'ensemble des générateurs agréable (bon, le groupe entier, mais ce n'est pas ce que j'appelle agréable). Dans cet exposé on va découvrir ces groupes fascinants, qui sont étudiés […]

Sur un compact, l'inégalité de Hölder montre que si une fonction est $L^p$ pour $p \geq 2$, alors elle est aussi dans $L^2$. Dans cet exposé, on verra que si on choisit "aléatoirement" une fonction dans $L^2$, alors elle est aussi dans $L^p$ pour tout $p < \infty$. Nous montrerons aussi qu'avec des hypothèses supplémentaires faibles, cette fonction est continue !

On discutera la motivation et les bases de la logique continue et de la théorie des modèles des structures métriques. Si le temps le permet, je mentionnerai quelques applications de celle-ci à la dynamique des groupes polonais. Enfin, je présenterai la logique affine, un fragment distingué de la logique continue, et j'expliquerai pourquoi celui-ci est remarquablement bien adapté pour une approche modèle-théorique de la théorie ergodique.

Dans cet exposé nous aborderons deux sujets: la théorie de la stabilisation et l'IA pour les mathématiques. La stabilisation est une branche de la théorie du contrôle qui consiste à se demander: "si je peux agir sur un système, que puis-je lui faire faire ?" Cette théorie a la particularité de mêler des aspects très théoriques et très divers ainsi que des aspects très appliqués. Nous parlerons ensuite d'IA pour les mathématiques et nous nous demanderons s'il est possible d'apprendre des mathématiques à une IA. En particulier, est-ce qu'une IA […]

Les « assistants de preuve » sont des logiciels qui permettent d'entrer un énoncé de théorème et sa démonstration comme un programme, la compilation dudit programme garantissant que la démonstration proposée prouve effectivement l'énoncé donné. Initiés dans les années 60, ils font l'objet d'une grande activité scientifique depuis une trentaine d'années et ont permis de vérifier la correction d'énoncés tout à fait non triviaux. Intéressé par ces développements, je me suis appliqué à démontrer la simplicité du groupe alterné au sein du logiciel Lean et de sa librairie mathématique mathlib. […]

Il y a 266 ans, Euler introduit la première description mathématique cohérente des fluides et 25 ans plus tard, Monge initie la théorie du transport optimal. Ces sujets n'ont rien perdu de leur actualité et je voudrais expliquer leur lien via l'optimisation combinatoire.

Le « problème des rencontres »  est le calcul de la probabilité qu'une permutation prise au hasard dans le groupe symétrique ait un nombre donné de points fixes. Via le théorème de Cebotarev, cette quantité apparaît en arithmétique comme la proportion de nombres premiers pour lesquels la réduction modulo p d'un polynôme à coefficients entiers génériques a un nombre donné de racines. J'expliquerai une démonstration exotique du problème de rencontres, basée sur les représentations du "groupe symétrique" S_t en un nombre complexe t d'éléments, et j'énoncerai une conjecture sur les […]

Un système dynamique est un système qui évolue au cours du temps, souvent modélisé par l'itération d'une application d'un ensemble X dans lui-même. Beaucoup de systèmes dynamiques naturels sont modélisés par une dynamique dite conservative, les plus simples de ces dynamiques étant les difféomorphismes des surfaces qui préservent l’aire. Les premiers ensembles invariants étudiés pour ces dynamiques sont en général les orbites périodiques, mais nous allons nous intéresser à des ensembles invariants un peu plus complexes qui sont des ensembles de Cantor. Nous en décrirons de deux types, et expliquerons […]

Le but de l'exposé sera de présenter un théorème d'Adams énonçant quelles sphères peuvent êtres munies d'une structure de groupe topologique, prétexte à introduire l'idée d'invariant-et de leur structure-topologiques (en l’occurrence la K-théorie).

Consider Z^2, and assign a random length of 1 or 2 to each edge based on independent fair coin tosses. The resulting random geometry, first passage percolation, is conjectured to have a scaling limit. Most random plane geometric models (including hidden geometries) should behave the same. I will explain the basics of the limiting geometry, the "directed landscape", and its relation to traffic jams, tetris, coffee stains and random matrices.

La propagation des ondes est un des phénomènes physiques les plus communs dans le monde qui nous entoure : le son, les vibrations, les ondes à la surface de l’eau, les télécommunications, les radars,… L’étude des équations qui découlent de la modélisation de ces phénomènes et leur simulation est un champ de recherche très large et actif. Dans beaucoup d’applications, il est question de propagation d’ondes en régime harmonique, c’est à dire qu’elles ont une dépendance harmonique en temps, dans des milieux qui sont très grands devant la longueur d’onde […]